Решении прикладных задач часто возникает необходимость преобразовать заданную область в область более простого вида, причем так, чтобы сохранялись углы между кривыми. Преобразования, наделенные таким свойством, позволяют успешно решать задачи аэро- и гидродинамики, теории упругости, теории полей различной природы и многие другие. Мы ограничимся преобразованиями плоских областей. Непрерывное отображение го = /(г) плоской области в область на плоскости называется конформным в точке, если в этой точке оно обладает свойствами постоянства растяжения и сохранения углов. Открытыеобласти и называютсяконформноэквивапентными,если существует взаимнооднозначное отображение одной из этих областей на другую, конформное в каждой точке. Теорема Римана. Любые две плоские открытые односвязные области, границы которых состоят более чем из одной точки, конформно эквивалентны. Основной проблемой при решении конкретных задач является построение по заданным плоским областям явного взаимно однозначного конформного отображения одной из них на другую. Один изспособоврешенияэтой проблемы в плоском случае - привлечение аппарата теории функций комплексного переменного. Какужеотмечалось выше, однолистная аналитическаяфункция с отличной от нуля производной осуществляет конформное отображение своей области задания на ее образ. При построении конформных отображений весьма полезно следующее правило. Принцип соответствия границ. Пусть в односвязной области Я) комплексной плоскости z, ограниченной контуром 7, задана однозначная аналитическая функция w = f(z), непрерывная в замыкании 9) и отражающая контур 7 на некоторый контур 7" комплексной п/юскости w. Если при этом сохраняется направления обхода контура, то функция w - f(z) осуществляет конформное отображение области комплексной плоскости z на область З1 комплексной плоскости w, ограниченную контуром 7" (рис. 1). Цель настоящего параграфа состоит в том, чтобы, используя найденные ранее области однолистности основных элементарных фуннций комплексного переменного, научиться строить конформные отображения открытых одно-связных плосжх областей, часто встречающихся в приложениях, надвестан- КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ дартныс области - верхнюю полуплоскость и единичный круг (рис. 2). Для более эффективного использо- Рис.2 вания приводимой ниже таблицы полезны некоторые простейшие преобразования комплексной плоскости. Преобразования плоскости, осуществляющие: 1. параллельный перенос (сдвиг на заданное комплексное число а) (рис. 3), Рис.3 2. поворот (на заданный угол 3. растяжение (fc > 1) ил и сжатие (рис. 5). Тем самым, преобразование вида 0 любой круг можно сделать единичным кругом с центром в нуле (рис. 6), любую полуплоскость можосделать верхней полуплоскостью, любой отрезок прямой можно преобразовать в отрезок вещественной оси (рис. 14). 2. Указанная область приведена в таблице под № 22. Применяя дробно-линейное преобразование преобразуем эту область в плоасость с разрезом по лучу Плоскость с разрезом по действительному лучу (0, +«>(Плоскость с разрезами по действительным лучам J -оо, 0] и (I, +оо[ Плоскость с разрезом по действительному лучу Плоскость с разрезом по отрезку (О, 1J № 21 1лоскость с разрезами ю лучам, лежащим ia прямой, проходящей через ачало координат по действительным лучам ]-«ю, 0] и (1. Плоскость с разрезом по действительному лучу (0, +во(Плоскость с разрезом по дуге окружности Ixl - 1, lm z > О Плоскость с разрезом по дуге окруж ности III - I, Re z > О Плоскость с разрезом по действительн ому лучу (0, Плоскость с разрезом no дуге окруж ности Плоскость с разрезом по действительному лучу [С, + со [ № 25 Полуплоскость с разрезами Полуплоскость l с разрезом по отрезку с разрезом по мнимому лучу Круг с разрезами Круг 1 с разрезом по отрезку (1/2, 1J №30 Плоскость с разрезом по отрезку {-1, 5/4] Круг Izl с разрезами по отрезкам (-1. -1/2] и (1/2, 1] № 31 Плоскость с разрезами по отрезиам I -5/4, 5/4] Круг Ijl симметричными разрезами по мнимой оси Круг lie с симметричными разрезами по действительной оси Внешность круга с разрезами Внешность единичного круга I с разрезом по отрезку и 11, 2) №34 Плоскость с разрезом по отрезку [ -1, 5/4] Плоскость с разрезом по отрезку I - 5/4, 3/4] w = e"^z Внешность единичного круга Izl > 1 с разрезами по отрезкам, являющимися продолжениями его диаметра Внешность единичного круга Iwl > 1 с разрезами по отрезкам, лежащим на действительной оси Полуируг с разрезами -г2 Nfc 36 Круг Iwl с разрезом по отрезку [ -1/4, 1] Полукруг, с разрезом по отрезку (0, i/2) Полукруг, с разрезом по отрезку . Они являются хорошим инструментом для решения многих задач, связанных с трехмерным пространством, и учитывают его особенности...
Статистическое моделирование
Для того чтобы оценка имела практическую ценность, она должна обладать следующими свойствами. 1. Оценка параметра называется несмещенной, если ее математическое ожидание равно оцениваемому параметру, т.е. М= .(22.1) Если равенство (22...
Тригонометрические функции
Циклоида
Определение циклоиды, введенное ранее, никогда не удовлетворяло ученых: ведь оно опирается на механические понятия -- скорости, сложения движений и т. д...
Экстремальная задача на индексационных классах
Нам понадобятся два факта из . 1. Для любого существует и единственная ФР. 2. Если, то множество одноэлементно. Если, то существуют непрерывные, однопараметрические семейства (т. е. при и (значок обозначает слабую сходимость)) и ФР такие...
Пусть функция определена в некоторой окрестности точки z 0 .
Определение 1. Отображение называется конформным в точке z 0 , если оно обладает свойствами сохранения углов и постоянства растяжений в точке z 0 .
Пусть функция f(z) однолистная в конечной области E .
Определение 2. Отображение называется конформным в области E , если оно конформно в каждой точке этой области.
Очевидно, линейная функция (b и a ¹ 0 – комплексные числа) осуществляет конформное отображение всей комплексной плоскости z на комплексную плоскость w. Ради наглядности совместим эти плоскости так, чтобы начала и оси координат совпадали. Тогда в частности w = z + z 0 осуществляет сдвиг всей плоскости на вектор z 0 , (a - действительное) – поворот плоскости вокруг начала координат на угол a, а w = kz (k > 0) – преобразование подобия, k – коэффициент подобия. Записав линейную функцию в виде видим, что ее можно представить как произведение операций сдвига, подобия и вращения. Т. к. при этих операциях свойства сохранения углов и постоянства растяжений очевидны, то это отображение конформно.
Углом между прямыми , проходящими через бесконечно удаленную точку, называют угол между образами этих кривых при отображении в точке w = 0.
Например, оси декартовой системы координат пересекаются в нуле под углом Поскольку на расширенной комплексной плоскости бесконечно удаленная точка одна, то оси пересекаются и в бесконечно удаленной точке При отображении оси координат отображаются сами в себя (плоскости z и w совмещены) и, следовательно, в бесконечно удаленной точке они пересекаются также под углом
Определение 2 распространяют на любую область расширенной комплексной плоскости. Если доопределить линейную функцию, полагая при то можно убедиться, что она конформно отображает расширенную комплексную плоскость z w.
Отметим свойства функции f (z ), которыми она должна обладать, чтобы отображение, осуществляемое ею, было конформным.
Теорема 1. Если функция f (z ) однолистная в области Е расширенной комплексной плоскости и аналитическая всюду за исключением быть может одной точки в которой но то отображение w = f(z) области Е на область G значений функции конформно (без доказательства).
Рассмотрим дробно-линейную функцию При с = 0 она переходит в линейную, рассмотренную выше, поэтому положим с ¹ 0. Дробно-линейная функция однолистная на всей комплексной плоскости, т. к. обратная функция однозначная. Она аналитическая всюду, исключая точку В ней она обращается в бесконечность,
Функция удовлетворяет теореме 1 на всей комплексной плоскости, следовательно, конформна на всей комплексной плоскости. Доопределим функцию, полагая при и при Можно убедиться, что в этом случае дробно линейная функция конформно отображает расширенную комплексную плоскость z на расширенную комплексную плоскость w .
Справедливо и обратное утверждение, если функция конформно отображает расширенную комплексную плоскость z на расширенную комплексную плоскость w , то эта функция дробно-линейная.
Прямую на расширенной комплексной плоскости будем считать окружностью бесконечного радиуса. Можно доказать, что любую окружность на расширенной комплексной плоскости дробно-линейная функция отображает на окружность, а полуплоскость – в круг. При этом всякое дробно-линейное отображение полуплоскости z > 0 на круг имеет вид
где Im z 0 >0, a - действительное.
Рассмотрим функцию
которую называют функцией Жуковского.
Функция (2) определена и однозначна на всей комплексной плоскости (исключая точку z = 0), но не однолистна на ней, т. к. обратная функция неоднозначная. Точки являются точками ветвления.
Найдем область однолистности. Для этого положим, что две различные точки z 1 и z 2 отображаются в одну и ту же точку w . Тогда получим
Таким образом, всякая область, не содержащая ни одной пары точек, удовлетворяющей условию будет областью однолистности функции Жуковского. Этому условию удовлетворяет, например, круг ½z ½< 1 или внешность этого круга ½z ½> 1. В этих областях функция (2) удовлетворяет теореме 1 и, следовательно, отображает эти области конформно.
Найдем область, на которую конформно отображает функция Жуковского круг ½z ½< 1. Положим Подставляя в (2) и отделяя действительную u и мнимую v части, получим
Уравнения (3) есть уравнения эллипса с полуосями
Таким образом, всякая окружность отображается в эллипсе. Из (4) следует, что при r ®1 a ®1, b ®0, т. е. граница круга ½z ½< 1 отображается в дважды пробегаемый отрезок ½u ½£ 1 действительной оси плоскости w . При r ®0 и , следовательно, круг ½z ½< 1 отображается на расширенную комплексную плоскость w с разрезом от точки z = -1 до точки z = 1 (см. рис 6¢).
Аналогично можно убедиться, что и внешность круга ½z ½> 1 отображается функцией Жуковского на расширенную комплексную плоскость с тем же разрезом. Таким образом, функция Жуковского отображает расширенную комплексную плоскость на поверхность Римана, состоящую из двух плоскостей склеенных по разрезу действительной оси от точки z = -1 до точки z = 1.
Основная задача теории конформных отображений заключается в нахождении функции, отображающей одну заданную область на другую заданную область. Достаточно простого алгоритма решения этой задачи не существует, поэтому на практике следует руководствоваться общими условиями существования конформного отображения и общими принципами. Перечислим важнейшие из них. Во-первых, нельзя конформно отобразить многосвязную область на односвязную, а во-вторых, нельзя всю комплексную плоскость конформно отобразить на конечную область. Однако, две произвольные односвязные области, границы которых состоят более, чем из одной точки, всегда можно конформно отобразить друг на друга.
Теорема 2 (принцип соответствия границ). Если функция w = f (z ) конформно отображает одну область на другую, то она взаимно однозначно отображает и границы этих областей (без доказательства).
Справедлива и обратная теорема. Если функция w = f (z ), аналитическая в области Е и непрерывная на ее границе, однозначно отображает эту границу на некоторую кривую Г , то функция f (z ) конформно отображает область Е на область G , границей которой является кривая Г .
Пример. Найти такое конформное отображение верхней полуплоскости с разрезом по мнимой оси от точки z = 0 до точки z = i (см. рис. 7 а) на единичный круг, чтобы точка отобразилась в центр этого круга.
Решение. Разгладим сначала разрез. Т.к. на разрезе точки имеют аргумент p/2, то воспользуемся функцией w 1 = z 2 , поскольку она удваивает аргумент точки. Эта функция аналитическая и однолистная в верхней полуплоскости и поэтому конформно отображает заданную область на плоскость w , с разрезом [-1,¥) (см. рис. б).
Согласно принципу соответствия границ ломаная ABCDA отобразится в разрез ABCDA плоскости w 1 . Обозначения соответственных точек при отображении на рисунках сохранены. Буквой A обозначена бесконечно удаленная точка плоскости z (а также плоскостей w 1 , w 2 и w 3).
Осуществим теперь сдвиг комплексной плоскости w 1 так, чтобы точка С попала в начало координат. Для этого воспользуемся линейным отображением w 2 = w 1 + 1 (см. рис. в).
Затем комплексную плоскость w 2 с разрезом . При больших r 0 разность a r 0 -- b r 0 = мала, и эллипсы мало отличаются от окружностей.
Чтобы получить образ лучей, преобразуем равенства (32) к виду
Возводя эти равенства в квадрат, вычитая из первого второе и полагая
Получим (34)
Уравнение (34) является уравнением гиперболы с полуосями,. Следовательно, лучи отображаются в части гипербол (рис. 9б). Таким образом, функция Жуковского взаимно-однозначно и конформно отображает внешность единичного круга на внешность отрезка [-1,1].
Из (30) легко видеть, что w(z) = w(l/z). Функция w = 1/z взаимно-однозначно и конформно отображает внутренность круга |z| < 1 на внешность этого же круга. Отсюда следует, что функция Жуковского взаимно-однозначно и конформно отображает также и внутренность единичного круга на внешность отрезка [--1,1].
...Подобные документы
Сущность конформного отображения 1 и 2 рода, аналитической функции в заданной области. Геометрический смысл аргумента и модуля производной функции. Величина коэффициента растяжения в точке. Сохранение функции отличной от нуля по величине и напряжению.
презентация , добавлен 17.09.2013
Определение производной функции, геометрический смысл ее приращения. Геометрический смысл заданного отношения. Физический смысл производной функции в данной точке. Число, к которому стремится заданное отношение. Анализ примеров вычисления производной.
презентация , добавлен 18.12.2014
Предел отношения приращения функции к приращению независимого аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю. Обозначения производной. Понятие дифференцирования функции производной и ее геометрический смысл. Уравнение касательной к кривой.
презентация , добавлен 21.09.2013
Геометрический смысл производной. Анализ связи между непрерывностью и дифференцируемостью функции. Производные основных элементарных функций. Правила дифференцирования. Нахождение производной неявно заданной функции. Логарифмическое дифференцирование.
презентация , добавлен 14.11.2014
Производная функция. Касательная к кривой. Геометрический смысл производной. Производные от элементарных функций. Изучение функций с помощью производной. Максимум и минимум функции. Точки перегиба. Дифференциал.
статья , добавлен 11.01.2004
Понятие производной, правила её применения, геометрический и физический смысл производной. Применение производной в науке и технике и о решении задач в этой области. Актуальность дифференциального исчисления в связи с научно-техническим прогрессом.
реферат , добавлен 17.05.2009
Правило нахождения производной произведения функций. Формулы нахождения производных для функций, заданных параметрически. Геометрический смысл производной. Приращение и дифференциал функции. Наибольшее и наименьшее значения на замкнутом множестве.
контрольная работа , добавлен 07.09.2010
Понятие конформного отображения и его основные свойства. Основные принципы конформных отображений функций комплексного переменного, их гидродинамические аналогии и интерпретации. Применение метода конформных отображений в механике сплошных сред.
дипломная работа , добавлен 26.08.2014
Первообразная функции и неопределенный интеграл. Геометрический смысл производной. Совокупность всех первообразных для функции f(x) на промежутке Х. Понятие подынтегрального выражения. Проверка правильности результата интегрирования, примеры задач.
презентация , добавлен 18.09.2013
Задача на нахождение модуля и аргумента заданных чисел, пример решения. Область дифференцируемости заданной функции, действительная часть производной. Правило для определения уравнения образа кривой. Нахождение действительной и мнимой части функции.
